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Eine `!multiplikative Partition`! (auch `!ungeordnete `F33f`_`[Faktorisierung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faktorisierung]`_`f`!) einer `F33f`_`[natürlichen Zahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Natürliche_Zahl]`_`f n > 1 {\\displaystyle n>1} ist eine Art, diese Zahl als Produkt natürlicher Zahlen größer als 1 {\\displaystyle 1} darzustellen. Dabei sind zwei Faktorisierungen gleich, wenn jeder Faktor einer Faktorisierung auch in der anderen vorkommt und sie sich nur in der Reihenfolge unterscheiden. Dabei wird die Zahl n {\\displaystyle n} selbst auch als Partition von sich selbst betrachtet. Multiplikative Partitionen werden spätestens seit dem Jahre `F33f`_`[1923`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=1923]`_`f erforscht, damals allerdings unter dem `F33f`_`[lateinischen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Latein]`_`f Namen „`*factorisatio numerorum`*“. Der heutige Name entstand vermutlich durch einen im Jahre 1983 veröffentlichten Artikel von `F33f`_`[Jeffrey Shallit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jeffrey_Shallit]`_`f und John F. Hughes in der Zeitschrift „`*American Mathematical Monthly`*“ über dieses Thema.`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Contents

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Anzahl`#anzahl]`_`f

• `F0af`_`[Spezialfälle`#spezialf-lle]`_`f

• `F0af`_`[Anwendung`#anwendung]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Beispiele

Die Zahl 20 hat 4 multiplikative Partitionen, nämlich 20 = 2 ⋅ ⋅ 10 = 4 ⋅ ⋅ 5 = 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 5 {\\displaystyle 20=2\\cdot 10=4\\cdot 5=2\\cdot 2\\cdot 5} .

Die Zahl 30 hat 5 multiplikative Partitionen, nämlich 30 = 2 ⋅ ⋅ 15 = 3 ⋅ ⋅ 10 = 5 ⋅ ⋅ 6 = 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 5 {\\displaystyle 30=2\\cdot 15=3\\cdot 10=5\\cdot 6=2\\cdot 3\\cdot 5} . Die Zahl 30 ist `F33f`_`[quadratfrei`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratfreie_Zahl]`_`f.

Die Zahl 81 hat 5 multiplikative Partitionen, nämlich 81 = 3 ⋅ ⋅ 27 = 9 ⋅ ⋅ 9 = 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 9 = 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 {\\displaystyle 81=3\\cdot 27=9\\cdot 9=3\\cdot 3\\cdot 9=3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 3} . Die Zahl 81 lässt sich als Primzahlpotenz darstellen: 3 4 {\\displaystyle 3^{4}}

Die Zahl 109 hat nur eine multiplikative Partition, nämlich sich selbst. Sie ist zugleich eine Primzahl.

>>Anzahl

Sei a n {\\displaystyle a_{n}} die Anzahl aller multiplikativen Partitionen von n {\\displaystyle n} . Die ersten Werte von a n {\\displaystyle a_{n}} lauten:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 1, … Folge A001055 in `F33f`_`[OEIS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences]`_`f

`F33f`_`[Percy Alexander MacMahon`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Percy_Alexander_MacMahon]`_`f und A. Oppenheim bemerkten, dass die `F33f`_`[Dirichletreihen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirichletreihe]`_`f-generierende Funktion f ( s ) {\\displaystyle f(s)} ebenfalls die folgende Produktdarstellung hat:

f ( s ) = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ a n n s = ∏ ∏ k = 2 ∞ ∞ 1 1 − − k − − s {\\displaystyle f(s)=\\sum _{n=1}^{\\infty }{\\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\\prod _{k=2}^{\\infty }{\\frac {1}{1-k^{-s}}}}

>>Spezialfälle

Ist n {\\displaystyle n} `F33f`_`[quadratfrei`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratfreie_Zahl]`_`f – enthält also keine `F33f`_`[Primzahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Primzahl]`_`f mehr als ein Mal in der `F33f`_`[Primfaktorzerlegung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Primfaktorzerlegung]`_`f, bzw. μ μ ( n ) ≠ ≠ 0 {\\displaystyle \\mu (n)\\neq 0} , wobei μ μ ( n ) {\\displaystyle \\mu (n)} für die `F33f`_`[Möbiusfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Möbiusfunktion]`_`f steht –, so ist die Anzahl der multiplikativen Partitionen B ω ω ( n ) {\\displaystyle B_{\\omega (n)}} , wobei B i {\\displaystyle B_{i}} die i {\\displaystyle i} -te `F33f`_`[Bellsche Zahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bellsche_Zahl]`_`f und ω ω ( n ) {\\displaystyle \\omega (n)} die Anzahl der einzigartigen Primfaktoren von n {\\displaystyle n} ist.

Der zweite Spezialfall setzt voraus, dass die Zahl n {\\displaystyle n} das Resultat einer `F33f`_`[Potenz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Potenz_(Mathematik)]`_`f mit einer Primzahl als Basis und mit einem natürlichen `F33f`_`[Exponenten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Exponent_(Mathematik)]`_`f ist. Formal:

∃ ∃ p ∈ ∈ P ∃ ∃ m ∈ ∈ N : n = p m {\\displaystyle \\exists p\\in \\mathbb {P} ~\\exists m\\in \\mathbb {N} :n=p^{m}}

Wobei P {\\displaystyle \\mathbb {P} } für die Menge aller Primzahlen steht. Diese Vorbedingung lässt sich auch als `F33f`_`[Kongruenz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kongruenz_(Zahlentheorie)]`_`f notieren:

∃ ∃ p ∈ ∈ P : n ≡ ≡ 0 mod p {\\displaystyle \\exists p\\in \\mathbb {P} :n\\equiv 0\\mod p}

Ist eine dieser Bedingungen erfüllt – wenn es eine ist, so ist es die andere automatisch auch –, dann ist die Anzahl der möglichen multiplikativen Partitionen gleich wie die `F33f`_`[additive Partition`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partitionsfunktion]`_`f des Exponenten m {\\displaystyle m} . Dies ist eindeutig weil es die Primfaktorzerlegung ebenfalls ist.

Der dritte Spezialfall ist der trivialste. Er setzt voraus, dass n {\\displaystyle n} selbst eine Primzahl ist, also dass n ∈ ∈ P {\\displaystyle n\\in \\mathbb {P} } gilt. Aufgrund der Definition von Primzahlen kann n {\\displaystyle n} nur eine Faktorisierung haben, nämlich sich selbst.

>>Anwendung

In ihrem Artikel, den sie im Jahre 1983 veröffentlicht haben, beschrieben `F33f`_`[Jeffrey Shallit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jeffrey_Shallit]`_`f und John F. Hughes eine Anwendung multiplikativer Partitionen zur Klassifikation natürlicher Zahlen anhand der `F33f`_`[Teileranzahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilbarkeit]`_`f. Beispielsweise:

∀ ∀ p ∈ ∈ P ∀ ∀ q ∈ ∈ P ∖ ∖ { p } ∀ ∀ r ∈ ∈ P ∖ ∖ { p , q } : σ σ 0 ( p 11 ) = σ σ 0 ( p 5 ⋅ ⋅ q ) = σ σ 0 ( p 3 ⋅ ⋅ q 2 ) = σ σ 0 ( p 2 ⋅ ⋅ q ⋅ ⋅ r ) = 12 {\\displaystyle \\forall p\\in \\mathbb {P} ~\\forall q\\in \\mathbb {P} \\setminus \\left\\{p\\right\\}~\\forall r\\in \\mathbb {P} \\setminus \\left\\{p,q\\right\\}:\\sigma _{0}(p^{11})=\\sigma _{0}(p^{5}\\cdot q)=\\sigma _{0}(p^{3}\\cdot q^{2})=\\sigma _{0}(p^{2}\\cdot q\\cdot r)=12}

Wobei p {\\displaystyle p} , q {\\displaystyle q} und r {\\displaystyle r} – wie formalisiert – `F33f`_`[paarweise verschiedene`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paarweise_verschieden]`_`f Primzahlen sind, wobei σ σ 0 {\\displaystyle \\sigma _{0}} die `F33f`_`[Teileranzahlfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teileranzahlfunktion]`_`f ist und wobei σ σ k {\\displaystyle \\sigma _{k}} die `F33f`_`[Teilerfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilerfunktion]`_`f wäre. Dieses Beispiel wurde konstruiert aus den multiplikativen Partitionen 12 = 2 ⋅ ⋅ 6 = 3 ⋅ ⋅ 4 = 2 ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 3 {\\displaystyle 12=2\\cdot 6=3\\cdot 4=2\\cdot 2\\cdot 3} .

Allgemein lässt sich sagen, für jede multiplikative Partition von n {\\displaystyle n} mit k {\\displaystyle k} Faktoren (wobei t i {\\displaystyle t_{i}} ein Faktor ist für 1 ≤ ≤ i ≤ ≤ k {\\displaystyle 1\\leq i\\leq k} )

n = ∏ ∏ i = 1 k t i {\\displaystyle n=\\prod _{i=1}^{k}t_{i}}

gibt es dazugehörig eine Menge natürlicher Zahlen mit genau n {\\displaystyle n} Teiler. Jede dieser Zahlen hat die Form

∏ ∏ i = 1 k p i t i − − 1 {\\displaystyle \\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{t_{i}-1}} ,

wobei alle p i {\\displaystyle p_{i}} paarweise verschiedene Primzahlen sind.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f "The American Mathematical Monthly > Vol. 90, No. 7, Aug. - Sep., 1983 > On the Number of Multiplicative Partitions". Abgerufen am 19. Mai 2014

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a